Question

如图，等边△ABC中，BD⊥AB，CD⊥AC，P为AB的中点，将△BDP沿DP对折至△EDP，延长PE交AC于点Q，DP，DQ分别交BC于M，N两点，连AE，下列结论：
①∠PDQ=60°；②AE∥DP；③AC=6CQ；④AE=

2

PE
其中正确的有（　　）

A．①②③

B．①②

C．①②④

D．①③

Answer 1

分析：（1）连接AD，利用△ABD≌△ADC，证明BD=CD，求得∠BDC=120°，再由对折BD=DE，得出∠BDP=∠EDP，再证明△DCQ≌△DEQ，∠CDQ=∠EDQ，最后求出∠PDQ；
（2）由对折得出∠BPD=∠EPD，BP=PE，P为AB的中点得出BP=AP，推出∠PAE=∠AEP，得出AE∥DP；
（3）设出等边三角形的边长，设出CQ，利用面积解答即可；
（4）假设结果成立，利用前面的推断进一步验证，得出结论即可．

解答：解：如图，

（1）连接AD，
△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵BD⊥AB，CD⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵AD=AD
∴△ABD≌△ADC，
∴BD=CD，
且∠BDC=360°-90°×2-60°=120°；
△BDP沿DP对折得到△EDP，
∴BD=DE，∠BDP=∠EDP，∠PBD=∠BED=∠DEQ=90°
∴∠DEQ=∠DCQ
∴CD=DE，又DQ=DQ
∴△DCQ≌△DEQ，
∴∠CDQ=∠EDQ，
∴∠PDQ=∠EDP+∠EDQ=

1

2

（∠BDE+∠CDE）=60°；

（2）△BDP沿DP对折得到△EDP，
∵∠BPD=∠EPD，BP=PE，P为AB的中点，
∴BP=AP，
∴PE=AP
∴∠PAE=∠AEP
又∵∠BPQ=∠PAE+∠AEP=∠BPD+∠EPD
∴∠PAE=∠BPD
∴AE∥DP；

（3）设AB=2a，
则AP=a，AD=

4 3

3

a，BD=DC=

2 3

3

a

S_△ABC=S_△APQ+S_{四边形BPQC}=S_△APQ+S_{五边形BPQCD}-S_△BDC，
2a×

3

a×

1

2

=

1

2

×（2a-x）×

3

2

a+

1

2

（x+a）×

2 3

3

a×2-

1

2

×2a×

2 3

3

a×

1

2

整理解得x=

2

5

a，
即CQ=

2

5

a
AC：CQ=2a：

2

5

a=5
AC=5CQ；

（4）如果AE=

2

PE，
说明△APE是等腰直角三角形，则可以推出C、Q两点重合，与题意不符．
所以假设不成立．

点评：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定、以及含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积、对称的性质等知识点，是一道难度较大的题目．