Question

（2012•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．
（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；
（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm²，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可以得出DC∥AB，就有∠CDR=∠ARD，在Rt△PQR中，由PQ=6cm，QR=12cm有tan∠ARD=

1

2

，就可以得出MC，再根据勾股定理就可以求出PM的值；
（2）分情况求出当当0＜t≤6时，当6＜t≤12时，12＜t≤18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S的解析式；
（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，CD∥AB，∠C=90°，
∴∠CDR=∠ARD，
∵PQ=6cm，QR=12cm，
∴tan∠ARD=

1

2

，
∴tan∠CDR=

CM

CD

=

1

2

，
∵CD=6，
∴CM=3，
在Rt△CPM中，由勾股定理，得
PM=

36+9

=3

5

．

（2）如图1，当0＜t≤6时，
∵QB=t，QR=12，
∴BR=12-t，
∴BM=6-0.5t，
∴S=

(6-0.5t+6)t

2

，
∴S=-

1

4

t²+6t，

如图2，当6＜t≤12时，
∵AR=12-t+6=18-t，BR=12-t，
∴SA=9-0.5t，MB=6-0.5t
∴S=

6(9+0.5t+6+0.5t)

2

，
=3t+45，

如图3，12＜t≤18时，
AR=6-（t-12）=18-t，AS=9-0.5t，
∴S=

(18-t)(9-0.5t)

2

，
=

1

4

t²-9t+81；

（3）当6＜t≤12时，由图象得：
QN²=AQ²+AN²=（t-6）²+（9-0.5t）²=

5

4

t²-21t+117，
NR²=AN²+AR²=（9-0.5t）²+（18-t）²=

5

4

t²-45t+405
RQ²=144
①如图4，当QR²=NR²时，

5

4

t²-45t+405=144，
解得：t₁=18+

24 5

5

t＞12（舍去），t₂=18-

24 5

5

；

②如图5，当QN²=QR²时，

5

4

t²-21t+117=144，
解得：t₁=-1.2（舍去），t₂=18（舍去），

③如图6，当QN²=RN²时，

5

4

t²-21t+117=

5

4

t²-45t+405，
解得：t=12，
12＜t≤18与6＜t≤12时一致，而t=18时△NQR不存在，
∴t=12或t=18-

24 5

5

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数的运用．等腰三角形的性质及判定，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，解答时根据自变量的取值范围求解是关键．