Question

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）若AD=4，求DP；（2）△APB是直角三角形吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DPA=∠PAB；
又∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=DP=4，
即DP=4．

（2）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠ABC+∠DAB）
=×180°=90°，
∴△APB是直角三角形．
分析：（1）因为AP平分∠DAB，所以有∠DAP=∠PAB，因为CD∥AB，所以有∠DPA=∠PAB根据角之间的等量代换可知等角对等边，DP=AD=4．
（2）平行四边形邻角互补，有两条角平分线，所以邻角的一半相加等于90°，即△APB是直角三角形．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．