题目内容
下面让我们来探究有关材料的利用率问题：工人师傅要充分利用一块边长为100cm的正三角形簿铁皮材料（如图1）来制作一个圆锥体模型（制作时接头部分所用材料不考虑）．（1）求这块三角形铁皮的面积（结果精确到0.01cm2）；
（2）假如要制作的圆锥是一个无底面的模型，且使三角形铁皮的利用率最高，请你在图2中画出裁剪方案的草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）；
（3）假如要用这块铁皮裁一块完整的圆形和一块完整的扇形，使之配套，恰好做成一个封闭圆锥模型，且使铁皮得到充分利用，请你设计一种裁剪方案，在图3中画出草图，并计算出铁皮的利用率（精确到1%）．
分析：（1）过点A作等边三角形的高，根据∠C=60°，求得高的长，根据三角形的面积公式求得面积．
（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高，根据扇形的面积S=
求得面积．
（3）如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与等边三角形的两边也相切，使得⊙O的周长与扇形的弧相等时，便能作成一个封闭圆锥模型．也可以使扇形与⊙O相切于等边三角形的高上，⊙O与等边三角形的边相切，也使得⊙O的周长与扇形的弧相等．
（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高，根据扇形的面积S=
| nπR2 |
| 360 |
（3）如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与等边三角形的两边也相切，使得⊙O的周长与扇形的弧相等时，便能作成一个封闭圆锥模型．也可以使扇形与⊙O相切于等边三角形的高上，⊙O与等边三角形的边相切，也使得⊙O的周长与扇形的弧相等．
解答：
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=
BC=50，（2分）
根据勾股定理得：AD=
=50
，（3分）
∴S△ABC=
×100×50
=2500
≈4330．（4分）
（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高．（6分）
S=
×π×(50
)2
=
×π×7500
=1250π≈3925
∴利用率≈
×100%≈91%．
（8分）
（3）方案1：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与BC相切于点E，
则A，E，O，D在同一直线上，且AE⊥BC．（9分）
设扇形半径为x，⊙O半径为y，
则有x+2y=50
=2πy（10分）
y=
≈54.13
x=
≈65.0
∴利用率≈60%．（13分）
方案2：
如图，⊙O与半圆⊙D相切于点E，⊙O与AB，AC相切于点F，G，
连接OF，则OF⊥AB，设⊙D的半径为x，设⊙O的半径为y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）
3y+x=50
πx=2πy（10分）（13分）
∴x=20
y=10
（12分）
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与AB，BC分别相切于点F，G，
连接A0，0F，OB，
则AO过点E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
设⊙O的半径为y，扇形的半径为x，
则有OB=2y，BF=
y．（9分）
∵
=2πy，
∴x=6y，（10分）
∴AF=
=
y=4
y．
∵AF+BF=100，
∴4
y+
y=100，
∴y=
x=40
（12分）
利用率≈68%．（13分）
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D．∵△ABC是等边三角形，
∴BD=
| 1 |
| 2 |
根据勾股定理得：AD=
| 1002-502 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（2）如图：当扇形与BC边相切时，三角形铁皮的利用率最高．（6分）
S=
| 60 |
| 360 |
| 3 |
=
| 1 |
| 6 |
=1250π≈3925
∴利用率≈
| 3925 |
| 4330 |
（8分）
（3）方案1：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与BC相切于点E，
则A，E，O，D在同一直线上，且AE⊥BC．（9分）
设扇形半径为x，⊙O半径为y，
则有x+2y=50
| 3 |
| 60πx |
| 180 |
y=
| 25 |
| 4 |
| 3 |
x=
| 75 |
| 2 |
| 3 |
∴利用率≈60%．（13分）
方案2：
如图，⊙O与半圆⊙D相切于点E，⊙O与AB，AC相切于点F，G，
连接OF，则OF⊥AB，设⊙D的半径为x，设⊙O的半径为y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）
3y+x=50
| 3 |
πx=2πy（10分）（13分）
∴x=20
| 3 |
y=10
| 3 |
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如图，扇形与⊙O相切于点E，⊙O与AB，BC分别相切于点F，G，
连接A0，0F，OB，
则AO过点E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
设⊙O的半径为y，扇形的半径为x，
则有OB=2y，BF=
| 3 |
∵
| 60πx |
| 180 |
∴x=6y，（10分）
∴AF=
| (7y)2-y2 |
| 48 |
| 3 |
∵AF+BF=100，
∴4
| 3 |
| 3 |
∴y=
| 20 |
| 3 |
| 3 |
x=40
| 3 |
利用率≈68%．（13分）
点评：本题利用了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式，弧长公式，扇形面积公式求解．
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