Question

如图1，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时(点F在AD上)，延长CE交AG于H，交AD于M.

①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=时，求CH的长．

Answer 1

解：（1）成立．

　　　　　　四边形、四边形是正方形，

　　　　　　∴      

∠∠.

            ∴∠90°-∠∠

　　　　　　∴△△.

            ∴.                       ……………3分

      （2）①类似（1）可得△△，

　　　　　   ∴∠1＝∠2           又∵∠＝∠.    

　　　　　   ∴∠∠＝即                     

　　　　 　  ②过作于,

　　　　　    由题意有∴，则

　　　　　　而∠1＝∠2，∴ ＝　　　　　　

∴　，即.                …………………3分

　　　　　　在Rt中，＝＝,

　              而∽,∴,　即,　∴.　

再连接，显然有,

　　　　　    ∴.

            所求的长为.                                           …………………3分