Question

如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=72°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=13，AC=12，求DE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠CAB的度数，又由OD∥BC，OA=OD，即可求得∠OAD的度数，继而求得答案；
（2）由AB=13，AC=12，可求得C的长，然后由垂径定理，可知OE是△ABC的中位线，则可求得OE的长，继而求得答案．

解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠B=72°，
∴∠CAB=90°-∠B=18°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=72°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=54°，
∴∠CAD=∠OAD-∠CAB=36°；

（2）∵AB=13，AC=12，
∴BC=

AB2-AC2

=5，
∵OD∥BC，∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴OE

1

2

BC=2.5，
∵OD=OA=

1

2

A=6.5，
∴DE=OD-OE=4．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．