Question

如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD

（１）求证：PA＋PC＝PB＋PD

（２）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．

（３）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不说明理由）

Answer 1

（１）证明：作PE⊥AD于点E

∵四边形ABCD是矩形

∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°

∴四边形ABPE是矩形

∴AB＝PE＝CD

∴PA＝PB＋AB

PD＝PC＋CD

∴PA＋PC＝PB＋AB＋PC

PB＋PD＝PB＋PC＋CD＝PB＋PC＋AB

∴PA＋PC＝PB＋PD．

（２）成立

过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F

则四边形ABFE和CDEF为矩形

∴AE＝BF，DE＝CF

由勾股定理得：

则AP＝AE＋PE，PC＝PF＋CF

BP＝BF＋PF，PD＝DE＋PE

∴PA＋PC＝AE＋PE＋PF＋CF

PB＋PD＝BF＋PF＋DE＋PE

∴PA＋PC＝PB＋PD．

（３）成立．．