Question

用长8m的铝材，做一个日字形窗框，如图，问：
（1）高和宽各多少m时，窗户的透光面积为

8

3

m²？
（2）可不可能使窗户的透光面积为2.7m²？
（3）高和宽各多少m时，窗户的透光面积有最大值，最大面积为多少？

Answer 1

分析：（1）设窗户的宽为x米，则窗户的高为

8-3x

2

米，利用

8

3

=x（

8-3x

2

），解方程得出即可；
（2）根据2.7=x（

8-3x

2

），整理为一元二次方程一般形式，进而利用△判断即可；
（3）设出矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的宽为x米，则窗户的高为

8-3x

2

米，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值．

解答：解：（1）设窗户的宽为x米，则窗户的高为

8-3x

2

米，
当窗户的透光面积为

8

3

m²，
即

8

3

=x（

8-3x

2

），
解得：x₁=x₂=

4

3

，
则

8-3× 4 3

2

=2，
高和宽，为2m和

4

3

时，窗户的透光面积为

8

3

m²；

（2）当窗户的透光面积为2.7m²，
即2.7=x（

8-3x

2

），
整理得出：3x ²-8x+5.4=0，
则b²-4ac=64-64.8=-0.8＜0，
故不可能使窗户的透光面积为2.7m²；


（3）设矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的宽为x米，则窗户的高为

8-3x

2

米，
由此得出S=x（

8-3x

2

），
整理得S=-

3

2

x²+4x=-

3

2

（x-

4

3

）²+

8

3

，
因为-

3

2

＜0，抛物线开口向下，取得最大值，最大值为

8

3

．

点评：此题主要考查了利用二次函数求实际问题的最大值与最小值以及一元二次方程的应用，表示出矩形窗户的高是解题关键．