Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点．

（1）求a、b的值；

（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意列方程组即可得到结论；

（2）在中，当x=0时．y=﹣2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC==，①当PA=CA时，则OP1=OC=2，②当PC=CA=时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P3（0，），④当PC=CA=时，于是得到结论；

（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x= =，得到OG=，求得GN=t﹣，根据相似三角形的性质得到HG=，于是得到结论．

试题解析：（1）把A（3，0），且M（1，）代入得：，解得：；

（2）在中，当x=0时．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC==，分三种情况：

①当PA=CA时，则OP1=OC=2，∴P1（0，2）；

②当PC=CA=时，即m+2=，∴m=﹣2，∴P2（0，﹣2）；

③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴，∴P3C=，∴m=，∴P3（0，），④当PC=CA=时，m=﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣），综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；

（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，∵NH∥AC，∴，∴，∴OM=，∵抛物线的对称轴为直线x= =，∴OG=，∴GN=t﹣，∵GH∥OC，∴△NGH∽△NOM，∴，即，∴HG=，∴S=ONGH=t（t﹣）=t2﹣t（0＜t＜3）．

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）由题意得：，解得：，b=-2，∴．

由（1）得抛物线对应的函数表达式为=，设AC与抛物线y=的对称轴x=1交于点F，直线x=1与x轴交于E点，则F(1，)，E（1，0）．

①当0＜t＜1时，EN=1-t，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

②当1≤t≤3时，EN=t-1，由得，，∴EH= ，∴=ONEH=，即；

∴ ．