Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．

Answer 1

（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m﹣3，
∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°
∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）²，
得：
解得
∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x+1；
（3）证明：过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（x，x²﹣2x+1），
则QM=CN=（x﹣1）²，MC=QN=3﹣x．
∵QM∥CE
∴△PQM∽△PEC
∴即，
得EC=2（x﹣1）
∵QN∥FC
∴△BQN∽△BFC
∴即，
得
又∵AC=4
∴FC（AC+EC）=[4+2（x﹣1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8
即FC（AC+EC）为定值8．