Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当CF∥AB时，求∠D的度数．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）由OD⊥AC，∠D=∠BFC与圆周角定理，易求得∠EAD+∠BAC=90°，即可证得AD是⊙O的切线；
（2）由CF∥AB，易证得

AF

=

CF

=

BC

，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠D=90°，
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠BAC，
∴∠BAC=∠D，
∴∠EAD+∠BAC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵CF∥AB，
∴∠BFC=∠B，
∴

BC

=

AF

，
∵OD⊥AC，
∴

AF

=

CF

，
∴

AF

=

CF

=

BC

，
∴∠AOF=

1

3

×180°=60°，
∴∠D=∠ABF=

1

2

∠AOF=30°．

点评：此题考查了切线的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．