如图.四边形ABCD是菱形.对角线AC与BD交于点O.且AC=80.BD=60．动点M.N分别以每秒1个单位的速度从点A.D同时出发.分别沿A→O→D和D→A运动.当点N到达点A时.M.N同时停止运动．设运动时间为t秒．(1)求菱形ABCD的周长,(2)记△DMN的面积为S.求S关于t的解析式.并求S的最大值,(3)当t=30秒时.在线段OD的垂直平分线上是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．
解答：解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD=

=50．
∴菱形ABCD的周长为200．

（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵sin∠OAD=

，
∴MP=AM•sin∠OAD=

t．
S=

DN•MP=

×t×

t²；

②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70-t，
∵sin∠ADO=

，∴MP=

（70-t）．
∴S_△DMN=

DN•MP=

×t×

（70-t）=

t²+28t=

（t-35）²+490．
∴S=

当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．
综上所述，S的最大值为480．

（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND•sin∠ODA=30×

=24，DF=ND•cos∠ODA=30×

=18．
∴OF=12，∴tan∠NOD=

=2．
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．
∴S_△ONF=

OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=

OF•FG+

ON•GH=

（OF+ON）•FG．
∴FG=

，
∴tan∠GOF=

．
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=

∠DPO=

∠DON=∠FOG
∴tan∠DPK=

，
∴PK=

．
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．
∴存在两个点P到OD的距离都是

．

方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴

，即

．
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3．
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R²=15²+x² ①
在Rt△NIH中，有R²=3²+（24-x）² ②
由①、②可得：

∴PE=PI+IE=

．
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．
∴存在两个点P，到OD的距离都是

．
（注：只求出一个点P并计算正确的扣（1分）．）
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．