Question

如图．点P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点（P不与A，C重合）且PE=PB 
（1）求证：PE⊥PD．
（2）设AP=x，四边形PECD的面积为y，求出y与x的关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先证明：△PBC≌△PDC，利用全等三角形的性质可得：∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．
（2）作出三角形的高，用未知数表示出即可．

解答：（1）证明∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD；

（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．（如图3）
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=1-

2

2

x，BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

EB•FP=BF•PF=-

1

2

x²+

2

2

x，
∴四边形PECD的面积为y=2S_△BPC-S_△PBE=2S_△PBE=-x²+

2

x．

点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定，列二次函数关系式，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．