Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线分别交轴于、两点，交轴于点，．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当直线经过点时，如图3，点在线段上，点在线段上，且，的面积为，求的长．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）利用OA=OC，待定系数法求解二次函数解析式．

（2）过P作轴的垂线，用锐角三角函数建立PD与PM之间的联系，用二次函数与一次函数求解PM的长度，从而得到答案．

（3）延长DF交AB于N，过F，D作好AB的垂线，利用面积与相似三角形求解FN,，DN的数量关系，再利用，找到，利用相似三角形性质表示AN的长，最后化归到直角三角形DNQ中，利用勾股定理得到答案．

解：（1）因为：，

所以点C，所以，

又因为

所以，把代入解析式得：

，即

解得：（舍去），所以，

所以抛物线为

（2）如图，过P作轴与N，交AC于M，又，

所以．

因为，所以，

因为，所以

所以

由（1）得，所以 直线AC为，

因为，轴，

所以

所以

所以

（3）如图，延长DF交AB于N，过F，D分别作，垂足分别为H，Q，因为抛物线为，所以B（1，0），A（-3，0）

所以AB=4，因为的面积为，

所以 ，所以，

因为A（-3，0），C（0，-3），

所以

因为

所以

所以

设，则

因为，，

所以

所以，

又因为

所以

所以 所以，

所以

在直角三角形DNQ中，

所以

解得： ，（负根舍去）

所以