Question

已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于的二次函数的图象与轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

Answer 1

（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；
（2）

解析试题分析：（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；
（2）先求出二次函数的图象与轴的交点坐标，再根据两交点间的距离为2即可求得m的值，从而得到结果.
（1）分两种情况讨论：
当时，方程为，，方程有实数根
当，则一元二次方程的根的判别式
＝
不论为何实数，成立，即方程恒有实数根
综合、可知取任何实数，方程恒有实数根；
（2）设为抛物线与轴交点的横坐标.
则有， 
∴抛物线与轴交点的坐标为（2 ，0）、（ ，0）
∵抛物线与轴两交点间的距离为2
∴或 
∴或
∴所求抛物线的解析式为.
考点：一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程.
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。