Question

如图，点P是正方形ABCD内的一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a＞0），那么∠APB的大小是

1. A.
   100°
2. B.
   120°
3. C.
   135°
4. D.
   150°

Answer 1

C
分析：将三角形APB绕B点旋转90°得：三角形CQB，连接PQ，由旋转的性质得到∠APB=∠BQC，CQ=AP=a，∠PBQ=90°，PB=QB=2a，则
∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=2a，所以PC²=CQ²+PQ²，根据勾股定理的逆定理得到△PQC为直角三角形，得到∠CQB的大小，即可得到∠APB的大小．
解答：解：将三角形APB绕B点旋转90°得△CQB，连接PQ，如图，
则△CPQ≌△APB，
∴∠APB=∠BQC，CQ=AP=a，
∵∠PBQ=90°，PB=QB=2a，
∴∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=2a，
而PC=3a，
∴PC²=CQ²+PQ²，
∴∠PQC=90°
所以∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=135°．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．