Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． ∵PQ∥BC， ∴，即，解得t=， ∵当t=s时，PQ∥BC． （2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t． S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+， ∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2． （3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=ACBC=24，∴此时S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t， ∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴，即， 解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t， ∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t． 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2， 化简得：13t2﹣90t+125=0， 解得：t1=5，t2=， ∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t ∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×]=cm2． 所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．