Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

Answer 1

分析：（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax²+bx+c中，列方程组求抛物线解析式，再用配方法求顶点式；
（2）当AP⊥CP时，分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，利用互余关系得角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求P点坐标；
（3）分别求出点E为抛物线顶点，E，B重合时，图形的面积，当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
当S介于这两个面积之间时，满足条件的点E有两个．

解答：解：（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c=3 36a+6b+c=1 c=-2

，
解得

a=- 1 2 b= 7 2 c=-2

，
∴y=-

1

2

x²+

7

2

x-2=-

1

2

（x-

7

2

）²+

33

8

；

（2）设点P（

7

2

，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得

AA′

PC′

=

A′P

CC′

，即

7 2 -2

m+2

=

3-m

7 2

，
解得m₁=

3

2

，m₂=-

1

2

，
∴P（

7

2

，

3

2

）或（

7

2

，-

1

2

）；

（3）①由B（6，1），C（0，-2），得直线BC的解析式为y=

1

2

x-2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=

1

2

×4×2+

1

2

×4×

33

8

=

49

4

，
∵S_△BOC=

1

2

×2×6=6，
∴当6≤S＜

49

4

时，满足条件的点E有两个．
②当4＜S＜6时，-

1

2

x²+

7

2

x-2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，
需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，
故此时满足条件的点E只有一个．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．