Question

22、某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下，阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．设一块绿化区的长边为x m．
（1）用x表示一块绿化区的短边；
（2）写出工程总造价y与x的函数关系式；
（3）要完成工程任务，最少需投资多少万元？

Answer 1

分析：（1）根据一块绿化区的长边为x m，根据空地长为100m可先求出口的宽，且四周出口一样宽，再根据空地的宽为80m，就可求出绿化区的短边．
（2）总造价=绿化区的造价+活动区的造价，且用x分表表示出绿化区和活动区的面积，根据预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元可列出函数式．
（3）根据出口宽度不小于50m，不大于60m可求出自变量的取值范围，根据取值范围可求出最值．

解答：解：（1）设一块绿化区的长边为xm，
[80-（100-2x）]÷2=x-10．
故一块绿化区的短边为：x-10．
（2）一块绿化区的长边为xm，工程总造价y，
y=50×4x（x-10）+60[80×100-4x（x-10）]=-40x²+400x+480000，
（3）y=-40（x-5）²+481000，
∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25（1分）
∴当x=25时，y有最小值为465000元，即该小区至少投资46.5万元．

点评：本题考查二次函数的应用，本题中关键设出一块绿化区的长边能表示出短边，根据活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元求出总造价y和x的函数式，根据题意求出自变量的取值范围，根据函数式的特点求出最值即x越大时函数值越小．