Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点P₀，使得△ABP₀为等腰三角形，并写出P₀点的坐标；
（4）除（3）中所求的P₀点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点、，
∴
又∵抛物线经过点，
∴，
∴抛物线的解析式为。
（2）∵E点在抛物线上，
∴m=4²-4×6+5=-3
∵直线y=kx+b过点C（0，5）、E（4，-3）
∴
解得k=-2，b=5
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，
当y=0时，-2x+5=0，解得x=
∴D点的坐标为（，0）
∴S=S_△BDC+S_△BDE
=
=10。
（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点为所求满足条件的点。
（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形
理由如下：
∵
∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、A
、、、
除去A、B两个点外，其余6个点为满足条件的点。