Question

如图，⊙0是△ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA=，∠D=30°．
（1）证明：BD是⊙0的切线；
（2）若OD⊥AB，AC=3，求⊙0的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OB，求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠OBD=90°，根据切线判定求出即可；
（2）根据垂径定理和线段垂直平分线求出BC=AC=3，根据等边三角形的性质和判定求出BO=BC，即可得出答案．
解答：（1）证明：连接OB，
∵cosA=，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°（圆周角定理），
∵∠D=30°，
∴∠OBD=180°-60°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是半径，
∴BD是⊙0的切线；

（2）解：∵OD⊥AB，OD过O，
∴BE=AE，
∴AC=BC，
∵AC=3，
∴BC=3，
∵∠BOD=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=3，
即⊙O的半径等于3．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，切线的性质和判定，垂径定理，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用．