Question

9、已知：抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²，其中正确的个数有（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：（1）因为抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），把点（-1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；
（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；
（3）画草图可知c＞0，结合a-b+c=0，可整理得-a+b+c=2c＞0，从而求得-a+b+c＞0；
（4）把（-1，0）代入解析式得c=b-a，再代入4a+2b+c=3b+3a＞0，得b＞-a
又将c=b-a代入得b²-2ac=b²-2ab+2a²，所以只讨论b²-2ab是否大于3a²就可得出原式大于3a²．
所以正确的个数有4个．

解答：解：（1）因为抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），
所以原式可化为a-b+c=0----①，
又因为4a+2b+c＞0----②，
所以②-①得：3a+3b＞0，
即a+b＞0；

（2）②+①×2得，6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴a+c＞-a，
∵a＜0，
∴-a＞0，
故a+c＞0；

（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax²+bx+c（a＜0）当x=2时的值大于0，草图为：
可见c＞0，
∵a-b+c=0，
∴-a+b-c=0，
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c，
整理得-a+b+c=2c＞0，
即-a+b+c＞0；

（4）∵过（-1，0），代入得a-b+c=0，
∴c=b-a，再代入4a+2b+c=3b+3a＞0，
即b＞-a
∴b＞0，a＜0，c=b-a＞0，
又将c=b-a代入b²-2ac=b²-2a（b-a）=b²-2ab+2a²，
∵b²-2ab=b（b-2a），b＞-a，b-2a＞-3a，并且b是正数，
∴原式大于3a²．
综上可知正确的个数有4个．
故选D．

点评：此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．