Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，AC与BD相交于点E，连接CD．

（1）如图①，若以AB所在直线为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，请你求出过A、B、C、D四点的抛物线的解析式；
（2）如图②，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=x，△FBP面积为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，求出A、B、C、D四点的坐标，利用A、B两点设出两点式解析式，代入C点求出，再代入D点验证，也可代入D点求出，用C点验证；
（2）作PM⊥AB，进一步利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，用x表示出BF，再利用△HFG∽△MFP，用x表示出PM，最后运用三角形的面积求得．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠BAC=∠DBA=30°，AB=8，
∴A、B、C、D四点的坐标分别是：（0，0）、（8，0）、（6，2

3

）、（2，2

3

），
设：过A、B、C、D四点的抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵A、B两点坐标为（0，0）、（8，0），
∴解析式为：y=a（x-0）（x-8）=ax（x-8），
∵D点的坐标是：（2，2

3

），
∴代入解析式得：2

3

=2a（2-8），
解得a=-

3

6

，
∴解析式为：y=-

3

6

x2+

4 3

3

x，
∵C点坐标是（6，2

3

），
把x=6代入解析式得：y=-6

3

+8

3

=2

3

，
∴C点在过A、B、D三点的抛物线上，
∴过A、B、C、D四点的抛物线的解析式是y=-

3

6

x2+

4 3

3

x．

（2）如图，
过点P做PM⊥AB垂足为M，
∴∠PMF=90°
在△FHG中，∠GHF=90°，∠GFH=30°，FG=8，
∴HG=4，
∴根据勾股定理得：FH=4

3

，
∵∠PMF=∠GHF=90°，∠HFG=∠MFP=30°，
∴△HFG∽△MFP，
∴

MP

HG

=

FM

FH

，
∵∠PFM=∠PBM=30°，
∴PF=PB，
∵PM⊥AB，
∴FM=

1

2

FB，
∵AF=x，AB=8，
∴FB=8-x，
∴FM=

8-x

2

，
由

MP

HG

=

FM

FH

可知，
.MP=

4× 8-x 2

4 3

=

8-x

2 3

=

8 3 - 3 x

6

，
∴y=

1

2

(8-x)×

8 3 - 3 x

6

，
即：y=

3

12

x2-

4 3

3

x+

16 3

3

∴y与x的函数关系式为：y=

3

12

x2-

4 3

3

x+

16 3

3

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．