Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有

1. A.
   ①④
2. B.
   ①②
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
解答：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四边形AEPF}=S_△ABC，①②③正确；
而AP=BC，EF因不是中位线，则不一定等于BC的一半，故④不一定成立．
始终正确的是①②③．
故选C．
点评：此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．