Question

如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．
（1）求点M、P的坐标；
（2）求折痕AM所在直线的解析式；
（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出EP的值然后可得点P的坐标．作MN⊥EF．设DM=x，PN=2

3

-x求出x的值．
（2）设折痕AM所在直线的解析式为y=kx，把点M的坐标代入可得k值，然后可求解析式．
（3）根据线段的垂直平分线定理可解．

解答：解：（1）依据题意
∵AP=AD=4，AE=2，
∴EP=

AP2-AE2

=

16-4

=2

3

．
∴P点坐标为（2

3

，2）．                                          （3分）
设DM=x，则MP=x，过M作MN⊥EF，垂足为N，
则MN=2，PN=2

3

-x．
在Rt△MNP中，2²+（2

3

-x）²=x²
解之得：x=

4 3

3

．
∴M点坐标为（

4 3

3

，4）．                                         （6分）

（2）设折痕AM所在直线的解析式为y=kx（k≠0），则4=

4 3

3

k，
k=

3

．
∴折痕AM所在直线的解析式为y=

3

x．                                （8分）

（3）存在；H₁（-2，-2

3

）；H₂（

2 3

3

，2）；H₃（2，2

3

）；H₄（2

3

，6）．      （14分）

点评：【命题意图】此题综合考查了一次函数的性质，解直角三角形、线段的垂直平分线等知识．难度中上．