Question

如图，直线y=x-3交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

2

x

于点D（D在第一象限），过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）在不对图形作任何变动的情况下，直接写出图形中的三个等腰直角三角形；
（2）求证：AD•BD=4；
（3）将直线AB沿x轴平移，是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求直线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线y=x-3与x轴所夹的锐角为45°，分析可发现三个等腰直角三角形；
（2）由等腰直角三角形的性质可知，AD=

2

CD，BD=

2

DE，由于CD•DE=xy=2，由此可证AD•BD=4；
（3）当点A为OC的中点时，四边形OBCD为平行四边形，设平移后的直线解析式为y=x-b，则OA=OB=AC=CD=b，D（2b，b），将D点坐标代入y=

2

x

中求b．

解答：解：（1）Rt△BOA，Rt△BED，Rt△ACD；

（2）∵△BED，△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE，
∴AD•BD=

2

CD•

2

DE=2xy=2×2=4；

（3）存在．当点A为OC的中点时，四边形OBCD为平行四边形．理由如下：
设平移后的直线解析式为y=x-b，
则OA=OB=AC=CD=b，D（2b，b），
将D点坐标代入y=

2

x

中，得2b²=2，解得b=1（舍去负值），
所以，直线解析式为y=x-1．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是掌握直线y=x-3与x轴所夹锐角为45°，反比例函数图象上点的横纵坐标的积为常数．