Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此重复操作下去，得到线段OP₃，OP₄，…，则：
（1）点P₅的坐标为______；
（2）落在x轴正半轴上的点P_n坐标是______，其中n满足的条件是______．

Answer 1

解：（1）由图可得P₅在第三象限的角平分线上，
∵OP₁=2¹，OP₂=2²，
∴OP₅=2⁵=32，
作P₅A⊥x轴，P₅B⊥y轴，
∴AO=OB=16，
∴点P₅的坐标为（-16，-16）；
故答案为（-16，-16）；

（2）由（1）可得落在x轴正半轴上的点P_n坐标是（2ⁿ，0），
∵每8个点循环一圈，
∴n满足的条件是n=8k（k=0，1，2，…），
故答案为（2ⁿ，0），n=8k（k=0，1，2，…）．


分析：（1）易得P₅在第三象限的角平分线上，先得到OP₅的长度，进而判断P₅的坐标即可；
（2）易得x轴正半轴上的点横坐标与底数为2的幂相关，根据每8个点循环一圈可得n满足的条件．
点评：考查坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及OP_n的长度的规律是解决本题的关键．