Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时 + 的值；
②试说明无论k取何值， + 的值都等于同一个常数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

所以，抛物线的解析式为y= x2﹣1；

（2）

证明：设点A的坐标为（m， m2﹣1），

则AO= = m2+1，

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，

∴点M的纵坐标为﹣2，

∴AM= m2﹣1﹣（﹣2）= m2+1，

∴AO=AM；

（3）

①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴ + = + =1；

②k取任何值时，设点A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），

则 + = ，

联立 ，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，

x12x22=16，

∴ + = =1，

∴无论k取何值， + 的值都等于同一个常数1．

【解析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入 + 计算即可得解；②设点A（x1 ， x12﹣1），B（x2 ， x22﹣1），然后表示出 + ，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2 ， x12 ， 并求出x12+x22 ， x12x22 ， 然后代入进行计算即可得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的图象的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．