Question

如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，B（2，0），经过A、B、C三点的抛物线y=

1

4

x²-2x+k与y轴交于点A，与x轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）⊙B是以点B为圆心，OB长为半径的圆，以点D为圆心的⊙D与直线BC相切，请你通过计算说明：⊙B与⊙D的位置关系；
（3）在直线AD下方的抛物线上是否存在一点P，使四边形APDC的面积最大？若存在，请你求出点P的坐标和四边形APDC面积的最大值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接将点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）此题的关键是求出点D的坐标（由此得到BD的距离）以及⊙D的半径，首先由抛物线的解析式求出点D的坐标，再连接圆心D与切点，通过构建的相似三角形来解．然后通过比较两圆的半径以及BD的长来得到两圆的位置关系．
（3）由于∠ABC是直角，过点C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形可以求出点C的坐标表达式，再代入抛物线的解析式中可确定点C的坐标，然后通过图形间的面积和差关系求出△ADC的面积；若△APDC的面积最大，那么△APD的面积最大（因为△ADC的面积是定值），可先求出直线AD的解析式，然后过点D作y轴的平行线，交直线AD于Q，在表达出点P、Q的坐标后，可得到线段PQ的表达式，以PQ为底，点A、D横坐标的差的绝对值为高，可求出△APD的面积，由此可得四边形APDC的面积与点P的横坐标函数关系式，根据函数的性质可求出四边形APDC的最大面积以及此时点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²-2x+k经过点B（2，0），
∴

1

4

×4-2×2+k=0，k=3；
故抛物线的解析式：y=

1

4

x²-2x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：A（0，3）、D（6，0）；
设⊙D与直线BC的切点为E，连接DE，则 DE⊥BE；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠BDE=90°-∠DBE，又∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△BED，有：

AB

BD

=

OB

DE

，即

13

4

=

2

r

，r=

8

13

≈2.2；
∴2.2-2＜BD＜2.2+2，即r_D-r_B＜BD＜r_D+r_B
∴⊙B与⊙D的位置关系为相交．

（3）过点C作CF⊥x轴于点F，设点C（x，

1

4

x²-2x+3），则 CF=

1

4

x²-2x+3，BF=x-2；
同（2）可证得：Rt△AOB∽Rt△BFC，有：

AO

BF

=

OB

CF

，即

3

x-2

=

2

1 4 x2-2x+3

解得：x₁=2（舍）、x₂=

26

3

；
则C（

26

3

，

40

9

），CF=

40

9

，DF=OF-OD=

26

3

-6=

8

3

；
故S_△ADC=S_梯形AOFC-S_△AOD-S_△CDF
=

1

2

×（3+

40

9

）×

26

3

-

1

2

×3×6-

1

2

×

8

3

×

40

9

=

52

3

；
由A（0，3）、D（6，0）得，直线AD：y=-

1

2

x+3；
过点P作PQ∥y轴，交直线AD于点Q；设点P（x，

1

4

x²-2x+3），则Q（x，-

1

2

x+3），PQ=（-

1

2

x+3）-（

1

4

x²-2x+3）=-

1

4

x²+

3

2

x；
则S_△APD=

1

2

×PQ×OD=

1

2

×（-

1

4

x²+

3

2

x）×6=-

3

4

x²+

9

2

x；
则S_{四边形APDC}=S_△ADC+S_△APD=-

3

4

x²+

9

2

x+

52

3

=-

3

4

（x-3）²+

289

12

；
综上，当x=3，即 P（3，-

3

4

）时，四边形APDC的面积最大，且最大值为

289

12

．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、相似三角形的应用、圆与圆的位置关系、图形面积的解法以及二次函数的应用等重点知识；在解题过程中要注意数形结合思想的合理应用．