Question

设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然数），试问这样的三角形有多少个？

Answer 1

分析：因为当b=n时，a可取n个值（1，2，3，n），对应于a的每个值，不妨设a=k（1≤k≤n）．由于b≤c＜a+b，即n≤c＜n+k，所以c可能取的值恰好有k个（n，n+1，n+2，n+k-1）．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

解答：解：（1）设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a+b=2，那么a+b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

（2）设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表．

a	c	三角形个数
2	2，3	2
1	2	1

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

（3）设b=n=3，类似地可得表．

a	c	三角形个数
3	3，4，5	3
2	3，4	2
1	3	1

这时满足条件的三角形总数为：1+2+3=6．
通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；本题先研究一些特殊情况，从而得出一般结论．