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精英家教网某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值?若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
分析:(1)要看图解答问题.得出当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米可得出三角形EMN的面积.
(2)本题要分情况解答(0<x≤1;1<x<1+
3
).当0<x≤1时,可直接得出三角形的面积函数,当1<x<1+
3
,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,先求FG,再证△MNG∽△DCG,继而得出三角形面积函数
(3)本题也要分两种情况解答:当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时),利用二次函数的性质解答.
当MN在矩形区域滑动时,S=x,可直接由图得出取值范围
当MN在三角形区域滑动时,由二次函数性质可知,在对称轴时取得最大值
解答:精英家教网解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
∴S△EMN=
1
2
×2×0.5=0.5(平方米).
即△EMN的面积为0.5平方米.(2分)

(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
即0<x≤1时,
△EMN的面积S=
1
2
×2×x=x;(3分)
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1<x<1+
3
时,精英家教网
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG=
3

又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG.
MN
DC
=
GH
GF
,即MN=
2(
3
+1-x)
3
.(4分)
故△EMN的面积S=
1
2
×
2(
3
+1-x)
3
×x
=-
3
3
x2+(1+
3
3
)x
;(5分)
综合可得:S=
x,(0<x≤1)
-
3
3
x2+(1+
3
3
)x.(1<x<1+
3
)
(6分)

(3)①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0<S≤1;(7分)
②当MN在三角形区域滑动时,S=-
3
3
x2+(1+
3
3
)x,
因而,当x=-
b
2a
=
1+
3
2
(米)时,S得到最大值,
最大值S=
4ac-b2
4a
=
-(1+
3
3
)
2
4×(-
3
3
)
=
1
2
+
3
3
(平方米).(9分)
1
2
+
3
3
>1,
∴S有最大值,最大值为
1
2
+
3
3
平方米.(10分)
点评:本题考查的是二次函数的相关知识.考生要学会利用图形,数形结合解答函数问题.难度较大.
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