Question

【题目】八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如图5-2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD,接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.

阅读后1回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行？说明理由.

（2）方案（Ⅱ）是否可行？说明理由.

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立？ .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.

【解析】

（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．

（1）在△ACB和△DCE中

∵AC=DC

∠ACB=∠DCE

BC=EC

∴△ACB≌△DCE(SAS)

∴AB=DE，

故方案（Ⅰ）可行；

（2）∵CB⊥AB、CD⊥DE

∴∠ABC=∠EDC=90°

在△ABC和△EDC中

∵∠ABC=∠EDC

BC=DC

∠ACB=∠ECD

∴△ABC≌△EDC (ASA)

∴ED=AB，

故方案（Ⅱ）可行；

（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．

故答案为：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.