Question

在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的三个顶点A（0，1），点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．
（1）直接写出点C的坐标为

（0，3）或（0，-1）

；
（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为

57

2

．

Answer 1

分析：（1）先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=

3

，在y轴上符合条件的有两点C₁和C₂，求出即可；
（2）根据AP=AO=1，得出P的对称点是O点，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；
（3）作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．

解答：解：（1）
符合条件的有两点，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C₁、C₂点，
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB=

3

，
即AC₁=AC₂=2，
∴OC₁=1+2=3，OC₂=2-1=2，
∴C的坐标是（0，3）或（0，-1），
故答案为：（0，3）或（0，-1）；

（2）P的坐标是（

3

2

，

3

2

），
理由是：过P作PQ⊥x轴于Q，
∵OA=1，AP=1，AO⊥x轴，
∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，
∵AP=1，
∴P在圆上，
∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，
∴P′点和O重合，如图：
∵P和P′关于直线AB对称，
∴PP′⊥AB，PC=P′C，
由三角形面积公式得：S_△AOB=

1

2

AO×OB=

1

2

AB×CO，
∴

3

×1=2OC，
∴OC=

3

2

，
∴PP′=2OC=

3

，
∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，
∴∠POB=60°，
∴PQ=OP×sin60°=

3

2

，OQ=OP×cos60°=

3

2

，
即P的坐标是（

3

2

，

3

2

）；

（3）
作B关于y轴的对称点B′，连接PB′交y轴于M，则M为所求，
∵OB=

3

，
∴OB′=

3

，
即BB′=2

3

，
∵PQ=

3

2

，
∴由勾股定理得：PB′=

(2 3 )2+( 3 2 )2

=

57

2

，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=

57

2

，
故答案为：

57

2

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．