Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是       ．

Answer 1

【考点】解直角三角形．

【分析】分两种情况：①△ABC为锐角三角形；②△ABC为钝角三角形．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．

【解答】解：分两种情况：

①△ABC为锐角三角形时，如图1．

作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．

∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=  a．

∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，

∴BD=AD= a，

∴BC=BD+CD= a．

在△BCE中，由余弦定理，得

BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC

∴BE= ；

②△ABC为钝角三角形时，如图2．

作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．

∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=  a．

∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，

∴BD=AD= a，

∴BC=BD+CD= a．

在△BCE中，由余弦定理，得

BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC

∴BE=．

综上可知AC边上的中线长是或．

故答案为或．

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．