Question

【题目】如图所示，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，直线经过点A、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线AC上一点，在平面内是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）在轴上存在点M，且，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点Q的坐标为或；（3）或．

【解析】

（1）分别求得函数与两坐标轴的交点，确定A，C两点的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）先求得抛物线与x轴交点，确定AB的长，然后分四边形ABPQ，四边形APBQ为正方形两种情况，结合正方形的性质求得Q点坐标；

（3）分点M在点A的右侧和点M在点A的左侧，根据题意及等腰三角形的性质求得∠MCO=30°或60°，从而利用三角函数求解．

解：（1）对于

令，则，解之得：

令，则

∴

把分别代入得

解之得

∴抛物线的解析式为

（2）存在，理由如下

令，解之得：

∴

∴

分为两种情况：

①当四边形ABPQ为正方形时，如图1所示

对于，当时，

∴点P在直线上

∵轴

∴

②当四边形APBQ为正方形时，如图2所示

连结PQ，则

∴

∴

对于，当时，

∴点P在直线上

易知点P、Q关于轴对称

∴

综上所述，点Q的坐标为或

（3）或

①当点M在点A的右侧时，如图3所示

∵

∴

∴△AOC为等腰直角三角形

∴

∴

∴

在Rt△COM中

∵

∴

∴

②当点M在点A的左侧时，如图4所示

在Rt△COM中

∵

∴

∴

综上所述，点M的坐标为或．