Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．

（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD，则BD过点O．
                  ∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN．
           又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN；
（2）证明：∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN，
       ∴AN=CM． ∴四边形AMCN是平行四边形．
         由翻折得，AM=CM， ∴四边形AMCN是菱形；
（3）∵ 
       又：=1：3
       ∴DN︰CM=1︰3 
      设DN=k，则CN=CM=3k．
      过N作NG⊥MC于点G，则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k．
      NG=
       ∴MN=
      ∴