Question

（1997•湖南）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数）．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）求证：⊙O的直径长为常数k；
（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；
（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；
（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．

解答：（1）证明：如图，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，
∵PF平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∴△PBD∽△PAE，
∴PB：PA=BD：AE，
∴PA•BD=PB•AE；（2分）

（2）证明：如图，
∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．
又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），
∴AE+BD=k，
∴AE+BD=AE+BE=AB=k，
即⊙O直径为常数k．（5分）

（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．
∴∠PBA=90°．
∵∠A=60°．
∴PB=PA•sin60°=

3

2

PA，
又∵PA•BD=PB•AE，
∴BD=

3

2

AE，
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数）．
∴AE•BD=2

3

，
即

3

2

AE²=2

3

，
解得：AE=2，BD=

3

，
∴AB=k=AE+BD=2+

3

，BE=BD=

3

，
在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+

3

）×

3

=3+2

3

．
在Rt△PBE中，tan∠BPF=

BE

PB

=

3

3+2 3

=2-

3

，
∵∠FPA=∠BPF，
∴tan∠FPA=2-

3

．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．