Question

如图所示，∠C=90°，Rt△ABC中，∠A=30°，Rt△A′B′C中，∠A′=45°．点A’、B分别在线段AC、B′C上．将△A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角q时，边A′B′分别交AB、AC于P、Q，且△APQ为等腰三角形．求锐角q的度数．

Answer 1

解：①当∠A为等腰△AOQ的底角时，此时PQ=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠AQP=∠A′QC=120°，
∵∠A′=45°，
∴∠A′CQ=180°-∠A′QC-∠A′=180°-120°-45°=15°，
由旋转的性质可知∠q=∠A′CQ=15°；
②当∠A为等腰△AOQ的顶角时，此时AP=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠APQ=∠B′PQ===75°，
∵∠B′=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠B′EP=∠BEC=180°-∠B′-∠B′PQ=180°-45°-75°=60°，
∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠q=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°．
故答案为：15°，60°．
分析：由于△APQ为等腰三角形，∠A为底角或顶角不能确定，故应分∠A为底角和顶角两种情况进行讨论．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．