Question

【题目】如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．

（1）若点恰好在的角平分线上，求的值；

（2）若为等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）或6；（2）或5或或.

【解析】

（1）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即4-2t=3，求得t=，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=，若PB=BC，即2t-3-4=3，解得t=5，③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2=BFAB，列方程32=，即可得到结论．

解：（1）当点在的平分线上时，如图1，过点作于点，

此时，，，

在中，，

即：，

解得：，

当时，点与重合，也符合条件，

当或6时，在的角平分线上；

（2）在中，，，

，

根据题意得：，

当在上时，为等腰三角形，

，即，

，

当在上时，为等腰三角形，

①，点在的垂直平分线上，

如图2，过作于，

，

，即，解得：，

②，即，

解得：，

③，如图3，过作于，

，

，

由射影定理得：，

即，

解得：，

综上：若为等腰三角形，t的值为或或或.