Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上任意一点（不与A，B重合），且CD切⊙O于点D．
（1）试求∠AED的度数．
（2）若⊙O的半径为3

2

cm，试求：△ADE面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用平行四边形的性质以及切线的性质和圆周角定理求出即可；
（2）利用当三角形高度最大时面积最大，求出EF的长即可得出答案．

解答：解：（1）连接DO，DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD切⊙O于点D．
∴DO⊥DC，
∴∠DBA=45°，
∵∠DBA=∠E，
∴∠E=45°，
当E′点在如图所示位置，即可得出∠AE′D=180°-45°=135°，
∴∠AED的度数为45 或135；

（2）当∠AED=45°，且E在AD垂直平分线上时，△ADE的面积最大，
∵∠AED=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∵⊙O的半径为3

2

cm，
∴AB=6

2

cm，
∴AD=DB=6，
AF=FO=3，
∴S_△ADE=

1

2

×AD×（FO+EO）=

1

2

×6×（3+3

2

）=（9+9

2

）cm ²．

点评：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理和平行四边形的性质，根据已知得出E在AD垂直平分线上时，△ADE的面积最大是解题关键．