Question

如图，已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径为a，则正方形ABCD边长为（

• A、

  1

  2

  a 
• B、

  3

  2

  a
• C、a
• D、

  2

  a

Answer 1

分析：如图，设△PAD的外接圆为⊙O，根据已知条件可以证明△ABP≌△CDP，然后利用全等三角形的性质得到PA=PD，那么连接OP交AD与E点，根据垂径定理的推论知道E为AD的中点，并且OP⊥AD，根据已知条件和等边三角形的性质可以求出∠APD=150°，接着可以求出∠APO，再利用等腰三角形的性质可以求出∠AOE=30°，然后解直角三角形即可求解．

解答：解：如图，设△PAD的外接圆为⊙O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∵△PBC是等边三角形，
∴BP=CP=BC=AB=CD，∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABP=∠PCD=30°，
∴∠APB=∠CPD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠APD=360°-∠BPC-APB-∠CPD=360°-60°-75°-75°=150°，
连接OP交AD于E点，
根据垂径定理的推论知道E为AD的中点，并且OP⊥AD，
∴∠APO=75°
而OA=OP，
∴∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO，
∴AD=AE=a，
∴正方形的边长为a．
故选C．

点评：此题既考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、也考查了垂径定理的推论、解直角三角形等知识点，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高，平时加强训练．