Question

如图，点A，B，C是⊙O上的点，∠B=60°，AC=6，CD是⊙O的直径，E是CD延长线上的一点，且AE=AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）首先求出CD的长，进而利用切割线定理得出ED的长．

解答：（1）证明：连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠ECA=30°，
∴cos∠ACD=

AC

CD

=

6

DC

=

3

2

，
∴DC=4

3

，
∵AE是⊙O的切线，
∴AE²=ED×EC，
∴6²=ED（ED+4

3

），
解得：DE=

-4 3 ±8 3

2

=2

3

或-6

3

（不合题意舍去）．
∴ED的长为2

3

．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及切割线定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出CD的长是解题关键．