Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意得解得

所以抛物线的解析式为。

（2）由得抛物线的顶点坐标为。

依题意，可得，且直线过原点。

设直线的解析式为。

则，解得。

所以直线的解析式为。

（3）到直线距离相等的点有四个。

如图，由勾股定理得，所以为等边三角形。

易证轴所在直线平分，轴是的一个外角的平分线。

作的平分线，交轴于点，交轴于点，作的相邻外角的平分线，交轴于点，反向延长交轴于点。

可得点就是到直线OB，OC，BC距离相等的点。

可证，，均为等边三角形。

可求得：

①，所以点M₁的坐标为。

②点M₂与点A重合，所以点M₂的坐标为（0，2）。

③点M₃与点A关于x轴对称，所以点M₃的坐标为（0，-2）。

④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N。

，且ON=M₄N，所以点M₄的坐标为。

综上所述，到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标分别为，M₂（0，2），，。