题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴交于点C
，当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由于x=-4和x=2时，抛物线的函数相等，那么它的对称轴为x=-1，可据此求得点B的坐标，进而可利用待定系数法求得该抛物线的解析式，从而得到a、b、c的值；
（2）连接AC，根据A、B、C三点的坐标，易求得AC、BC、AB的长，从而证得△ACB是直角三角形，且∠ABC=60°，根据折叠的性质知BM=BN=MP=PN，故四边形PMBN是菱形，此时PN∥AB，可得△CPN∽△CAB，利用所得比例线段，即可求得t值以及对应的P点坐标；
（3）由（2）求得∠ACB=90°，若以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，那么以B，N，Q为顶点的三角形也必为直角三角形，可分三种情况考虑：
①显然BN中点的距离要大于1，由（2）求得的t值可得到
BN的长要小于1，因此以BN为直径的圆与抛物线对称轴没有交点，因此Q不可能为直角顶点；
②若∠BNQ=90°，则有两种情况：
1）∠NBQ=60°，此时Q为抛物线对称轴与x轴的交点，由于N不是线段BC的中点，故NQ与AC不平行，图此时∠BNQ不可能是90°；
2）∠NBQ=30°，此时Q点与点P重合，显然此时∠BNQ不等于90°；
③若∠NBQ=90°，延长NM交抛物线对称轴于点Q，此时∠MBQ=∠MQB=30°，可得QM=BM=PM，即x轴垂直平分PQ，此时P、Q关于x轴对称，由此可求得点Q的坐标．
解答：解：（1）由题意知：抛物线的对称轴为x=-1，则B（1，0）
设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=
，a=-
∴y=-
（x+3）（x-1）=-
x2-
x+
故a=-
，b=-
，c=
；
（2）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，
），
∴OA=3，OB=1，OC=
，AB=4，AC=2
，BC=2
故△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=60°
由题意知：BM=BN=MP=PN=t，
所以四边形PNBM是菱形，
∴PN∥AB，
则有：
，即
，
解得t=
．
过P作PE⊥AB于E，
在Rt△PME中，∠PME=60°，PM=t=
，
故PE=
，ME=
∵OM=BM-OB=t-1=
，
∴OE=OM+EM=1，
即P（-1，
）；
（3）由（1）知：抛物线的对称轴为x=-1，
所以点P在抛物线的对称轴上；
由（2）知，∠ACB=90°，若以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则△BNQ必为直角三角形；
①若∠BQN=90°；
由于BN=BM=t=
，则
BN=
；
而BN中点到抛物线对称轴的距离大于1，
故以BN为直径的圆与抛物线对称轴无交点，
所以∠BQN≠90°，此种情况不成立．
②若∠BNQ=90°；
当∠NBQ=60°时，Q、E重合，此时∠BNQ≠90°，
当∠NBQ=30°时，Q、P重合，此时∠BNQ≠90°，
故此种情况也不成立．
③若∠NBQ=90°，延长NM交抛物线对称轴于点Q，
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°，EM⊥PQ，
∴P、Q关于x轴对称，故Q（-1，-
）；
综上所述，存在符合条件的Q点，且坐标为Q（-1，-
）．
点评：此题考查了抛物线的性质、函数解析式的确定，直角三角形、菱形的判定和性质，相似三角形的性质、圆周角定理等重要知识，综合性强，难度较大．
（2）连接AC，根据A、B、C三点的坐标，易求得AC、BC、AB的长，从而证得△ACB是直角三角形，且∠ABC=60°，根据折叠的性质知BM=BN=MP=PN，故四边形PMBN是菱形，此时PN∥AB，可得△CPN∽△CAB，利用所得比例线段，即可求得t值以及对应的P点坐标；
（3）由（2）求得∠ACB=90°，若以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，那么以B，N，Q为顶点的三角形也必为直角三角形，可分三种情况考虑：
①显然BN中点的距离要大于1，由（2）求得的t值可得到
BN的长要小于1，因此以BN为直径的圆与抛物线对称轴没有交点，因此Q不可能为直角顶点；②若∠BNQ=90°，则有两种情况：
1）∠NBQ=60°，此时Q为抛物线对称轴与x轴的交点，由于N不是线段BC的中点，故NQ与AC不平行，图此时∠BNQ不可能是90°；
2）∠NBQ=30°，此时Q点与点P重合，显然此时∠BNQ不等于90°；
③若∠NBQ=90°，延长NM交抛物线对称轴于点Q，此时∠MBQ=∠MQB=30°，可得QM=BM=PM，即x轴垂直平分PQ，此时P、Q关于x轴对称，由此可求得点Q的坐标．
解答：解：（1）由题意知：抛物线的对称轴为x=-1，则B（1，0）
设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=
，a=-∴y=-
（x+3）（x-1）=-x2-x+故a=-
，b=-，c=；（2）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，
），∴OA=3，OB=1，OC=
，AB=4，AC=2，BC=2故△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠ABC=60°
由题意知：BM=BN=MP=PN=t，
所以四边形PNBM是菱形，
∴PN∥AB，
则有：
，即，解得t=
．过P作PE⊥AB于E，
在Rt△PME中，∠PME=60°，PM=t=
，故PE=
，ME=∵OM=BM-OB=t-1=
，∴OE=OM+EM=1，
即P（-1，
）；（3）由（1）知：抛物线的对称轴为x=-1，
所以点P在抛物线的对称轴上；
由（2）知，∠ACB=90°，若以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则△BNQ必为直角三角形；
①若∠BQN=90°；
由于BN=BM=t=
，则BN=；而BN中点到抛物线对称轴的距离大于1，
故以BN为直径的圆与抛物线对称轴无交点，
所以∠BQN≠90°，此种情况不成立．
②若∠BNQ=90°；
当∠NBQ=60°时，Q、E重合，此时∠BNQ≠90°，
当∠NBQ=30°时，Q、P重合，此时∠BNQ≠90°，
故此种情况也不成立．
③若∠NBQ=90°，延长NM交抛物线对称轴于点Q，
∵∠PME=∠QME=∠BMN=∠NMP=60°，EM⊥PQ，
∴P、Q关于x轴对称，故Q（-1，-
）；综上所述，存在符合条件的Q点，且坐标为Q（-1，-
）．点评：此题考查了抛物线的性质、函数解析式的确定，直角三角形、菱形的判定和性质，相似三角形的性质、圆周角定理等重要知识，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
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