Question

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：是定值.

Answer 1

（1）连结OC，交DE于M，

∵四边形ODCE是矩形
∴OM＝CM，EM＝DM
又∵DG=HE
∴EM－EH＝DM－DG，即HM＝GM
∴四边形OGCH是平行四边形
（2）DG不变；
在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1
（3）作HF⊥CD于点F，则△DHF∽△DEC
∴
∴
∴
∵HF²=CH²－CF²=DH²－DF²，DH=2
∴CH²－=2－
整理，得
∴="12"

解析