Question

如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=

5

，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2

9-OF2

=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE²+OF²=OM²=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；
（2）先设OE=x，OF=y，则x²+y²=5，根据（1）可得AB=2

9-x2

，CD=2

9-y2

，从而易知S_{四边形ADBC}=

1

2

AB×CD=2

9-x2

×

9-y2

，结合x²+y²=5，可得S_{四边形ADBC}=2

-(x2- 5 2 )2+ 169 4

，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．

解答：解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，
那么AB=2

9-OF2

=4，
∴OF=

5

，
又∵OE²+OF²=OM²=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S_{四边形ADBC}=

1

2

AB×CD=12；

（2）设OE=x，OF=y，则x²+y²=5，
∵AB=2

9-x2

，CD=2

9-y2

，
∴S_{四边形ADBC}=

1

2

AB×CD=2

9-x2

×

9-y2

=2

-x4+5x2+36

=2

-(x2- 5 2 )2+ 169 4

，
∴当x²=

5

2

时，四边形ADBC的最大面积是13．

点评：本题考查了勾股定理、垂径定理、二次函数的最值、矩形的判定．解题的关键是作出辅助线，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．