Question

若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，∠AMB=90°，则点M为直角点．
（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；
（2）若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB=4，BC=

3

，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件即可证明三角形ADM是等腰直角三角形，则该矩形的长是宽的2倍；
（2）作MH⊥AB于点H，能够据一已知条件求得构造的直角三角形的两条直角边．

解答：解：（1）AB=2AD．
理由如下：
∵直角点M为CD边的中点，
∴MD=MC，
又∵AD=BC，∠D=∠C=90°
∴△ADM≌△BCM，
∴∠AMD=∠BMC，
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∴∠AMD=∠BMC=45°
∴∠DAM=∠AMD=45°，
∴AD=DM，
∴AB=2AD．

（2）如图2所示，作MH⊥AB于点H，连接MN
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，
∴

AD

MC

=

DM

BC

，即

3

MC

=

4-MC

3

，
∴MC=1或3．
∵点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，
∴AN=MC，
∴当MC=1时，AN=1，NH=2，
∴MN²=MH²+NH²=（

3

）²+2²=7，
∴MN=

7

．
当MC=3时，此时点N与点H重合，即MN=BC=

3

，
综上，MN=

7

或

3

．

点评：熟练运用勾股定理、全等三角形的判定、相似三角形的判定进行计算．