Question

如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

则可得，FG＝×4，

所以S_△BEF＝BE·FG＝－x²+x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－x²+x＝14，解这个方程，得x₁＝7，x₂＝5（不合题意，舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然有S_△BEF∶S_{多边形AFECD} ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－x²+x＝，

整理，得3x²－24x+70＝0，此时的求根公式中的b²－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明　求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x₂＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.