Question

如图，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与射线AP，AB相交于M，N．当△AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等时，

EP

PD

=

 

．

Answer 1

分析：先连接AE，过F作FG⊥AE于G，由等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义可求出AE的长，再设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，根据ED∥AM可知△NED∽△NAM，再根据正六边形内角的度数可得出△BMC是等边三角形，即AM=2a，再由△AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等即可求出h的值，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．

解答：解：先连接AE，过F作FG⊥AE于G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，设正六边形ABCDEF的边长为a，△NPD的高为h，
∴AE=2EG=2×EF×cos∠AEF=2×a×

3

2

=

3

a，
S_{正六边形ABCDEF}=6×

1

2

a×

3 a

2

=

3 3 a2

2

，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠CBM=∠BCM=60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴BM=a，
∵△AMN面积与正六边形ABCDEF面积，
∴S_△AMN=

1

2

AM•（AE+h）=

1

2

×2a（

3

a+h）=

3 3 a2

2

，
∴h=

3 a

2

，
∵ED∥AB，
∴△NPD∽△NAM，
∴

PD

AM

=

h

h+ 3 a

，即

PD

2a

=

3 a 2

3 a 2 + 3 a

，
解得PD=

2a

3

，
∴PE=

1

3

a，
∴

EP

PD

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查的是面积及等积变换，熟知正六边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．