Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③

EH

BE

=2；④

S△EBC

S△EHC

=

AH

CH

，
其中结论正确的是

 

．

Answer 1

分析：△AED与△ABC是等腰直角三角形，根据这个条件就可求得：△ACD≌△ACE的条件，就可进行判断．

解答：解：∵∠ABC=90°，AB=BC
∴∠BAC=∠ACB=45°
又∵∠BAD=90°
∴∠BAC=∠DAC
又AD=AE，AC=AC
∴①△ACD≌△ACE；故①正确；

同理∠AED=45°
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°
∴∠DEC=60°
∵ACD≌△ACE
∴CD=CE
∴②△CDE为等边三角形．故②正确．

③∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴

EH

BE

=2不成立；

④作EC的中垂线交BC于点F，连接EF，则EF=FC，
∴∠FEC=∠BCE=15°，
∴∠BFE=30°，
设BE=a，
则EF=FC=2a，
在直角△BEF中，BF=

3

a，
∴BC=

3

a+2a=（2+

3

）a，
∴S_△BEC=

1

2

BE•BC=

3 +2

2

a²；
在直角△BEC中，EC=

BE2+BC2

=2

2+ 3

a，
∵△CDE为等边三角形，
∴S_△ECD=

3 •EC2

4

=

3

（2+

3

）=（3+2

3

）a²，EH=

2+ 3

a，HC=

3

2

EC=

3+2 3

a，
又∵△AED是等腰直角三角形，AH是高，
∴AH=EH=

2+ 3

a，
∴S_△EHC=

3+2 3

2

a²，
∴

S△EBC

S△EHC

=

3 +2 2

3+2 3 2

=

3 +2

3+2 3

=

2+ 3

3+2 3

=

AH

CH

．故④正确；
故其中结论正确的是①②④．

点评：认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键．